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Une ressource virtuelle de résolution de
problèmes mathématiques : les perceptions d’utilisateurs et
les traces d’usage
Viktor FREIMAN (Université de Moncton, Canada), Dominic MANUEL,
(Université McGill, Canada)
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RÉSUMÉ : De
quelle façon l’usage des ressources virtuelles change la perception
d’enseignement et d’apprentissage de mathématiques chez les
enseignants et leurs élèves ? Une étude de valeur
ajoutée d’expériences de résolution de
problèmes mathématiques dans un espace numérique collectif
nous dresse une perspective complexe et authentique : en construisant leurs
démarches à l’aide des outils virtuels, les
élèves semblent apprécier des nouveaux outils de
communication et de raisonnement mathématique qui leur apportent des
occasions de relever le défi, le sens d’autonomie, et de
satisfaction personnelle tout en contribuant à de multiples
échanges et collaborations. Comment on met cet enthousiasme naturel au
profit de l’amélioration des apprentissages mathématiques
dans un contexte de résolution de problèmes demeure toutefois une
question ouverte.
MOTS CLÉS : Communication
et raisonnement mathématiques, résolution de problèmes,
ressources virtuelles d’apprentissage, perceptions des
élèves et des enseignants. |
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ABSTRACT : How
does the use of virtual learning environment change the perception of teaching
and learning in students and teachers? An analysis of add-on value of
mathematical problem solving activities in a collective digital space provides
us with a better insight on the complexity and authenticity of the experience:
while elaborating the solutions, students seem to appreciate new tools of
mathematical communication and reasoning, as they report having a sense of a
good challenge, autonomy and personal satisfaction; these tools also seem to
contribute to the multiple opportunities of exchanges and collaboration.
However, more research evidence is needed to convert this moment of overall
excitement into the improvement of the learning of mathematics in a context of
problem-solving.
KEYWORDS : Mathematical
communication and reasoning, problem solving, virtual learning communities,
students’ and teachers’ perceptions |
1. Introduction — Les technologies de l’information et de la
communication (TIC) pour soutenir la résolution de problèmes en
mathématiques : quel appui pour la réforme?
Au début du 21e
siècle, la résolution de problèmes est devenue un
élément central de l’enseignement de mathématiques en
Amérique du Nord. L’habileté de pouvoir résoudre des
problèmes fait ainsi partie des Principes et des standards (Principles
and Standards) du Conseil national des enseignants des mathématiques des
États-Unis (NCTM, 2001), une
compétence clé dans le Programme de formation de
l’école québécoise (MEQ, 2001), et dans
les nouveaux programmes d’études des mathématiques au
Nouveau-Brunswick (MÉDPENB, 2011).
Entre autres, ces réformes mettent en évidence le besoin de
développer chez l’élève des habiletés à
communiquer mathématiquement, à raisonner mathématiquement
et à établir des liens par l’entremise de
situations-problèmes complexes et contextualisées dont la
démarche de résolution n’est pas connue préalablement
par l’élève. Ce dernier doit donc la construire. Or, les
examens provinciaux instaurés par le MÉDPENB qui mesurent ces
habiletés chez les élèves francophones du Nouveau-Brunswick
(30 % de la totalité de l’examen) démontrent peu
d’amélioration des résultats, ce qui semble être
confirmé par l’évolution du rendement dans les études
internationales mises en place par l’Organisation de la coopération
et du développement économique (OCDE) depuis 2000 où ces
mêmes habiletés sont associées à la culture
mathématique chez les jeunes de 15 ans (OCDE, 2000).
Tout comme Corbeil, et al. (Corbeil et al., 2001) et
Pallascio (Pallascio, 2005),
nous attribuons les défis du développement des habiletés en
résolution de problèmes mathématiques complexes au
changement de paradigmes en priorisant la production de solutions plus
authentiques par chaque élève, lui permettant de (d’) :
- explorer l’énoncé en profondeur en y
repérant les informations utiles et les objectifs (buts) à
atteindre ;
- formuler des hypothèses et des conjectures ;
- intérioriser des « règles de
jeu » ;
- développer des habiletés à chercher,
créer, utiliser son intuition, analyser, synthétiser, justifier et
anticiper le résultat ;
- mobiliser et utiliser de façon efficace les ressources pour
décrire une ou plusieurs réponses qui ne sont pas
préalablement connues.
Les recherches semblent indiquer que ce changement n’a pas encore eu
l’impact voulu sur les pratiques d’enseignement et
d’apprentissage dans les salles de classe. Entre autres, Chan (Chan, 2008) rapporte qu’au lieu d’être placés au centre de leurs
apprentissages, les élèves se trouvent encore confrontés
à des exercices répétitifs de reproduction
d’algorithmes présentés par leur enseignant de façon
magistrale. Dans ces types d’activités mathématiques, les
priorités sont surtout accordées à l’exactitude des
calculs (l’obtention de la bonne réponse) ainsi qu’à
la rapidité d’exécution, souvent au détriment de la
créativité (Mann, 2005).
Les élèves, de leur côté, se construisent un
système de règles souvent implicites à partir de leurs
expériences en résolution de problèmes. Un tel contrat
didactique, selon Poirier (Poirier, 2001),
peut entrainer, entre autres, la recherche par l’élève
d’une seule bonne réponse en utilisant toutes les données du
problème et en appliquant les procédures de calcul
récemment apprises en classe. Manuel (Manuel, 2010) s’interroge sur l’impact de ce type de règles sur la
créativité des élèves quant à
l’élaboration de leurs propres stratégies et à la
recherche de solutions originales. Il se demande également si
l’émergence des environnements virtuels d’apprentissage, de
nature plus collaborative et authentique, aurait du potentiel à favoriser
les apprentissages plus authentiques chez les élèves aux prises
avec les problèmes complexes leur présentant un défi de
taille.
Notre article a pour but d’analyser les perceptions des
élèves et des enseignants quant à l’usage du site
Internet CAMI (Communauté d’apprentissages multidisciplinaires
interactifs, www.umoncron.ca/cami)
créé en 2000 sous forme d’un Chantier d’Apprentissages
Mathématiques Interactifs (Freiman et al., 2005b) qui a évolué, au fil des années, en une communauté
virtuelle CASMI (Communauté d’apprentissages scientifiques et
mathématiques interactifs), (Freiman et Lirette-Pitre, 2009b) en devenant par la suite multidisciplinaire. Cette ressource en ligne, qui
propose des problèmes mathématiques authentiques et complexes, a
été développée à l’Université de
Moncton et est avant tout destinée aux élèves francophones
du Nouveau-Brunswick et d’ailleurs au Canada, mais grâce à sa
nature ouverte et à l’accès libre, elle peut être
utilisée partout dans le monde (Freiman et al., 2007) ; (Freiman et Lirette-Pitre, 2009a).
En nous questionnant sur la valeur ajoutée à la
communauté CAMI pour (1) enrichir l’enseignement et
l’apprentissage des mathématiques en général et (2)
pour inciter les élèves à produire des démarches de
résolution de problèmes plus détaillées et
cohérentes en se servant des outils de communication dans un espace
virtuel, nous analysons dans cet article deux types de données : des
entrevues semi-dirigées faisant ressortir des perceptions des
élèves et de leurs enseignants par rapport à
l’expérience de résolution de problèmes en ligne et
les traces d’usage numériques qui documentent la communication de
démarches de résolution de problèmes construites par les
élèves à l’aide des outils virtuels.
2. Résolution de problèmes : un défi pour
l’élève et l’enseignant
En construisant les fondements de sa théorie
des situations didactiques, Brousseau (Brousseau, 1998) fait part des difficultés des chercheurs à définir la
notion de problèmes dans le contexte de l’enseignement des
mathématiques. Selon lui, « ces difficultés commencent
lorsqu'il s'agit de savoir quels problèmes il doit se poser, qui les
pose, et comment » (Brousseau, 1998),
p. 115. Plusieurs auteurs s’intéressent à donner un sens
didactique (ou trouver une « niche didactique »,
d’après Houdement (Houdement, 2009) à l’utilisation de problèmes « pour
chercher » ou « complexes ». Il s’agit,
selon l’auteure, de faire ressortir « des bénéfices
pour les élèves de séances bien pensées de ces
problèmes, il se pourrait que réfléchir aux types de
connaissances effectives déclenchées par de telles séances
et lister les conditions de ces déclenchements mettent à jour des
connaissances ignorées (des professeurs et même des chercheurs),
non simplement institutionnalisables, que possèderaient certains
élèves et qui seraient très utiles (voire
nécessaires) pour les apprentissages mathématiques ordinaires » (Houdement, 2009),
p. 6.
À ces enjeux liés à la nature des problèmes et
à leurs multiples rôles dans le processus d’enseignement et
d’apprentissage des mathématiques s’ajoutent les
difficultés à construire un processus de résolution de
problèmes par l’élève. Julo (Julo, 1995) avance
que ce processus est non linéaire faisant intervenir, déjà
au stade de la représentation, plusieurs processus simultanément
dont celui d’interprétation et de sélection, celui de
structuration et d’opérationnalisation.
Dans leur étude portant sur la créativité en
résolution de problèmes, Manuel et al. (Manuel et al., 2012) ont exploré en profondeur la notion de richesse d’un
problème. Pour définir le problème mathématique
riche, les auteurs ont retenu des critères pouvant être
évalués dans les énoncés des problèmes. Selon
différents auteurs, un problème est riche lorsqu’il est
ouvert (Arsac et Mante, 2005) ; (Diezmann et Watters, 2004) ; (Takahashi, 2000),
complexe (Diezmann et Watters, 2004) ; (Schleicher, 1999),
mal défini (Murphy, 2004),
contextualisé (Greenes, 1997) et possède diverses interprétations possibles (Hancock, 1995).
Plus précisément, le problème est ouvert s’il
contient plusieurs réponses correctes possibles ou peut se
résoudre en utilisant plusieurs stratégies (Takahashi, 2000).
Le problème complexe respecte le plus de critères parmi les
suivants : il se résout en utilisant plus d’une étape ; il
demande implicitement ou explicitement de trouver des régularités,
de généraliser des résultats ou de faire des preuves
mathématiques ; il demande explicitement de faire des choix et de les
justifier, et il demande explicitement de poser d’autres problèmes
afin de continuer l’exploration. Un problème est mal défini
s’il lui manque certaines données importantes ou
nécessaires, mais qui peuvent être définies ou
recherchées, s’il inclut des données superflues ou encore,
s’il ne fournit pas les informations suffisantes pour pouvoir le
résoudre (aucune solution ou problème impossible) (Kitchner, 1983).
Le problème à diverses interprétations est un
problème suscitant différentes visions possibles du
problème menant à différentes réponses possibles.
Enfin, le problème contextualisé est celui qui se présente
dans des situations réelles tirées de la vie sociale d’un
jeune ou d’un adulte ou dans des situations fictives. Le schéma
conceptuel présenté à la figure 1 représente la
vision du problème mathématique riche adoptée pour cette
étude. Dans ce schéma, les rectangles représentent les cinq
caractéristiques retenues dans la définition du problème
mathématique riche, tandis que les bulles correspondent aux
critères observables dans les énoncés des problèmes
écrits.
Figure 1 • Schéma conceptuel du
problème riche (conçu par Manuel, 2010)
Depuis l’arrivée des TIC (Technologies de l’Information et
de la Communication) dans les écoles munies d’un accès
Internet haute vitesse (parfois sans fil), une multitude de ressources
éducatives deviennent disponibles gratuitement. Il serait donc
raisonnable de s’attendre à leur impact sur les pratiques courantes
en salle de classe et au-delà. Selon Klotz (Klotz, 2003),
l’expansion des outils technologiques comme les communautés
d’apprentissage et de collaboration sur le Web modifie le concept de la
salle de classe, car non seulement ces outils influencent ce qui est appris,
mais aussi comment les concepts sont appris. Ceci par conséquent
influence les relations entre les enseignants et les élèves, car
ces communautés offrent une panoplie d’activités amusantes
comprenant des défis que les enseignants peuvent proposer à leurs
élèves afin de différencier les apprentissages et ainsi
mieux répondre à leurs besoins particuliers. L’historique de
la communauté CAMI que nous analysons dans la section suivante
démontre que la création de problèmes riche au sens de
Manuel et al. (Manuel et al., 2012) présente des défis de taille sur le plan technopédagogique
et nécessite une collaboration soutenue entre les pédagogues, les
didacticiens, les programmeurs et les utilisateurs (enseignants et
élèves).
3. Historique et aperçu global de la communauté virtuelle
CAMI : quel apport à l’apprentissage ?
En faisant part de l’évolution des
espaces numériques de travail en mathématiques, Kuntz (Kuntz, 2007) analyse la ressource virtuelle Mathenpoche qui propose, à
l’intérieur même du logiciel, un tableur, un traitement de
textes mathématiques, un traceur de courbes et un logiciel de
géométrie dynamique. Selon l’auteur, plusieurs aspects du
travail de l’élève dans un tel environnement doivent
être examinés tels que la façon d’enrichir et
d’ouvrir les exercices un peu fermés, la
complémentarité de l’espace virtuel en rapport avec les
environnements d’apprentissage plus traditionnels, le savoir que
l’élève peut acquérir dans un tel espace et les
moyens d’évaluer ce qu’apprennent les élèves
dans ces conditions (Kuntz, 2007).
L’apport des technologies de l’information et de la communication
(TIC) pour soutenir la résolution de problèmes a été
étudié entre autres par Hersant (Hersant, 2003) qui a analysé l’utilisation d’un logiciel associé
à une banque de problèmes structurés qui propose des
problèmes de proportionnalité. Dans cet environnement, les
problèmes sont donc le lieu de mise en fonctionnement des connaissances
de l’utilisateur, tandis que les messages et explications permettent
l’apport de connaissances aux utilisateurs, en essayant de s’adapter
aux erreurs effectuées, identifiées à l’aide
d’une analyse a priori (Hersant, 2003).
Au cours de la dernière décennie, le contexte
d’utilisation des TIC à des fins éducatives a
été enrichi par le concept de communautés de pratiques issu
des travaux de Wenger (Wenger, 1998).
Grosjean (Grosjean, 2007) justifie une application de ce concept dans un contexte d’une
communauté virtuelle qui semble avoir des dimensions limitées
à une situation formelle d’un cours à distance.
L’auteure soutient toutefois que l’existence d’une
communauté virtuelle d’apprenants dans ce contexte est
dépendante des processus de négociation et de construction
collective de sens qui vont s’accomplir et des référents
communs que les participants vont partager. Un lien étroit entre les
travaux de Wenger (Wenger, 1998) et
le cadre de recherche instrumentale de Rabardel (Rabardel, 1995) a été faite par Sokhna et Dia (Sokhna et Dia, 2009) qui arriment l’idée de médiation, la distinction entre
l’artefact et les instruments et la non-permanence de l’instrument
avec ceux des communautés de pratiques, soit le concept d’une
ressource pédagogique élaborée « n’est pas
seulement pour prendre en compte les types d’utilisation des ressources,
mais pour faire vivre les outils et favoriser le travail collaboratif entre
pairs » (Sokhna et Dia, 2009),
p. 6.
En mathématiques, on trouve des exemples de communautés
virtuelles d’apprentissage qui semblent avoir démontré leur
potentiel d’appuyer la construction des connaissances par les
élèves, souvent, en collaboration avec leurs pairs. Renninger et
Shumar (Renninger et Shumar, 2002) analysent le site Math Forum (www.mathforum.org) qui offre un environnement dans lequel
les participants interagissent ensemble afin de générer de
façon collaborative des services et des ressources, de bâtir une
fondation de construction de nouvelles connaissances en mathématiques, en
pédagogie, en technologie et encore plus, d’instaurer une culture
mettant l’accent sur les habiletés à poser et à
résoudre un problème. Cette complexité d’interactions
générée par l’environnement virtuel peut amener des
apprentissages de haut niveau cognitif allant au-delà d’une triade
« question – réponse —
rétroaction ». À leur tour, les chercheurs
étudiant le site Internet NRICH (http://nrich.maths.org/frontpage)
expriment leur conviction par rapport à la résolution de
problèmes comme processus créatif qui est à la base des
mathématiques comme activité humaine (Piggott, 2007)
Pallascio (Pallascio, 2003) a étudié un autre type de communauté virtuelle de recherche
nommée l’Agora de Pythagore (http://euler.cyberscol.qc.ca/pythagore/).
Cet environnement propose aux élèves des situations
d’apprentissage dans lesquelles les participants peuvent philosopher sur
différents sujets de nature épistémologique complexe
(comme, par exemple, le concept de l’infini). Dans ce contexte de
débat philosophique, les élèves deviennent les acteurs et
les créateurs de leurs propres connaissances par l’entremise de
discours argumentatifs (Pallascio, 2003).
Le concept de la communauté virtuelle d’apprentissage y apporte,
selon l’auteur, une nouvelle dimension didactique permettant d’aller
au-delà de la perception de l’élève comme acteur ou
un être actif dans son processus d’apprentissage, mais de le
considérer comme auteur ou producteur de ses connaissances. Taurisson (Taurisson, 2003) va même plus loin en amenant la métaphore d’une
« explosion du triangle didactique » qui sera
remplacée par une structure dynamique et complexe avec multiples
interactions qui développent de nouvelles propriétés qui
évoluent constamment et qui autocorrigent le fonctionnement du processus
d’enseignement-apprentissage. Selon le même auteur, le monitorage de
l’évolution de ces systèmes complexes fait intervenir les
chercheurs « modérateurs » qui veillent à
ce que le développement soit cohérent et poursuit les buts
fixés (Taurisson, 2003).
La première version du site Internet nommée Chantier
d’apprentissages mathématiques interactifs (CAMI) a
été lancée en septembre 2000, avec la collaboration de
l’Université de Moncton et du District scolaire 1 du
Nouveau-Brunswick (Vézina et Langlais, 2002).
Le but de ce projet était, dans un premier temps, de créer un
outil pour aider les élèves francophones du Nouveau-Brunswick
à développer des habiletés en résolution de
problèmes et en communication d’idées mathématiques,
et dans un second temps, de se servir de cet outil pour former les
étudiants en didactique des mathématiques à
l’Université de Moncton. Ce second but permettait à la
cohorte universitaire de pouvoir mieux comprendre les raisonnements
utilisés par les élèves dans un processus de
résolution de problèmes, de développer des habiletés
en évaluation formative et de se familiariser au rôle des
technologies comme outil d’apprentissages en mathématiques (Vézina et Langlais, 2002).
Le modèle du problème de la semaine (Problem of the
Week) exploité par l’équipe du site Math Forum cité ci-dessus (Renninger et Shumar, 2002) a été retenu. Sur une base hebdomadaire, quatre problèmes
mathématiques étaient affichés sur le site CAMI selon
quatre niveaux de difficulté (apprenti, technicien, ingénieur et
expert). Vers la fin de 2005, cette communauté virtuelle émergente
donnait l’accès à une base de plus de 700 problèmes
mathématiques dans les domaines de nombres et opération,
régularités et relations, formes et espace, ainsi que
l’analyse de données et probabilités (Freiman et al., 2005a).
Selon les résultats de premiers sondages réalisés par
l’équipe CAMI, les élèves ont dit avoir aimé
le design du site et les activités de résolution de
problèmes en ligne. Les enseignants, à leur tour, semblaient avoir
apprécié les occasions d’améliorer les
habiletés en résolution de problèmes et en communication
mathématique chez leurs élèves. Les étudiants en
formation initiale disent avoir aimé l’occasion de pouvoir analyser
les solutions authentiques des élèves et de leur rédiger
des rétroactions formatives (Vézina et Langlais, 2002) ; Freiman et al., 2005b).
Ces mêmes sondages indiquaient toutefois des limites importantes
de la communication par courriel qui était parfois instable et peu
efficace. Les traces du travail des élèves se perdaient dans une
multitude de messages non structurés. La logistique du site ne permettait
pas, non plus, de suivre les progrès des élèves (sous forme
d’un portfolio électronique), un besoin clairement exprimé
dans les sondages.
Avec le nouveau site CASMI qui fut officiellement lancé en 2006,
l’utilisateur devenait membre de la communauté en se créant
un profil d’utilisateur et en obtenant ainsi une possibilité de
gérer son propre portfolio nommé Mon dossier en y
accédant avec un mot de passe et un nom d’utilisateur. Dans ce
dossier, toutes les traces du travail accompli par l’utilisateur
étaient conservées dans la base de données dynamique,
c’est-à-dire les problèmes résolus, les
rétroactions formatives personnalisées reçues, et les
problèmes qu’il a proposés. Dans cette même rubrique,
l’utilisateur pouvait modifier les informations contenues dans son profil
et peut aussi partager son dossier avec tout autre membre de la
communauté en utilisant le nom identifiant : un nom (code) unique
attribué à chaque membre de la communauté.
Une analyse détaillée des cadres théoriques et
méthodologiques de la conception de la communauté CASMI a
été présentée dans Freiman et Lirette-Pitre (Freiman et Lirette-Pitre, 2009a).
Notons ici qu’au niveau technologique, le site constituait une plate-forme
virtuelle munie d’une structure dynamique de base de données COLD FUSION. Cette nouvelle conception du site a permis
d’améliorer les interactions entre le système de gestion des
données et les utilisateurs et aussi entre les utilisateurs. De plus, il
est devenu possible d’enregistrer, de stocker et d’utiliser les
différentes traces numériques d’usage grâce aux divers
outils d’interaction et de communications asynchrones implantés, ce
qui a généré plus de 30000 solutions
d’élèves soumises à un total de 400 problèmes,
pour une période entre le mois de septembre 2007 et le mois de mai 2010,
comme résultats de plus de 100000 visites de plus d’un million des
pages visionnées.
La section de mathématiques au sein de la communauté CASMI a
été élargie en incorporant également des questions
du domaine des sciences (physique, chimie et biologie), ainsi que des
énigmes d’échecs (Freiman et al., 2007).
En 2010, le site est devenu multidisciplinaire en abritant maintenant les
sections de littératie (développée par Sylvie Blain,
professeure à l’Université de Moncton) et de sciences
humaines (développée par Aicha Bennimas, également
professeure à l’Université de Moncton). Le site a ainsi
retrouvé son abréviation initiale CAMI qui signifie maintenant Communauté d’apprentissages multidisciplinaires interactifs.
Déjà en collaboration avec l’Association Sésamath depuis 2008 permettant un pont virtuel avec leur ressource Mathenpoche, le site donne également aux membres de la
communauté un accès direct au Marathon virtuel des
mathématiques, un nouveau site bilingue
(http://www8.umoncton.ca/umcm-mmv/index.php), étant le produit
d’une collaboration internationale (Freiman et Appelbaum, 2011).
Néanmoins, la section Problème de la semaine en
mathématiques demeure le noyau de la communauté dont les membres
résolvent les problèmes par l’entremise d’un
formulaire contenant différents outils de communication. Semblable
à la barre d’outils que l’on retrouve dans les logiciels de
traitement de texte, le membre peut ajouter des images, utiliser les
émoticônes, choisir les couleurs, la police, ajouter des liens
hypertextes et peut même créer des fichiers audio et vidéo
et les ajouter dans sa solution. Les étudiants universitaires, lors de
leur formation en didactique, peuvent ainsi accéder aux solutions des
élèves et les analyser de plusieurs façons en vivant ainsi
une expérience plus authentique (Freiman, 2010).
En plus d’un profil personnel protégé par un mot de passe,
cet environnement virtuel donne l’accès à tous les
utilisateurs à un espace des ressources partagées telles
qu’une banque des problèmes archivés et des commentaires
généraux portant sur l’ensemble des solutions pour chaque
problème. Un forum de discussion a aussi été
instauré afin que les membres puissent communiquer et partager avec tous
les autres membres de la communauté (Freiman et Lirette-Pitre, 2009b).
Les traces numériques d’usage laissées par les membres de
la communauté ainsi que les données des sondages et des entrevues
nous ont permis d’entamer des analyses plus profondes pour évaluer
le potentiel éducatif du site sur l’enrichissement en
mathématiques (Freiman, 2009),
la créativité mathématique (Manuel, 2010),
les difficultés des élèves (Pelczer et Freiman, 2009) et les défis de formation des maîtres qui donnent une
rétroaction formative à l’élève (Leblanc et Freiman, 2011).
Toujours dans le but d’éclairer l’impact du site sur les
apprentissages, nous avons interrogé des élèves de trois
écoles qui ont travaillé sur le site CASMI (nous utilisons cet
acronyme pour le reste de notre texte, car les données analysées
se rapportent à cette étape de développement de la
communauté virtuelle) de façon régulière pendant
deux années, ainsi que leurs enseignants en demandant de quelle
manière leur participation affecte leurs perceptions par rapport aux
mathématiques en général et aussi par rapport à la
résolution de problèmes. Par la suite, nous analysons les traces
de solutions des élèves pour comprendre comment les
élèves communiquent leurs démarches à partir
d’une démarche authentique construite par
l’élève. Les deux prochaines sections discutent des
thèmes ressortis des entrevues semi-dirigées et une
diversité des solutions des élèves communiquées de
différentes façons à l’aide des outils technologiques
(traitement de texte) et des raisonnements logico-mathématiques
(registres et relations).
4. Perceptions des élèves et des enseignants par rapport
à la ressource et aux nouvelles occasions d’apprentissage
Les perceptions des élèves et des
enseignants ont été recueillies lors des ateliers de
présentation du site dans trois écoles francophones du
Nouveau-Brunswick. Ces écoles choisies faisaient partie d’un projet
pilote géré par le ministère de l’Éducation du
Nouveau-Brunswick dans le cadre duquel tous les élèves de 7e et 8e
année ainsi que les enseignants avaient l’accès direct
à un ordinateur portatif (Fournier et al., 2006).
Ainsi, nous avons fait des entretiens de groupe (à la fin des ateliers)
et individuels, de 15-20 minutes, avec 8 élèves (4 garçons
et 4 filles âgés de 13-14 ans) et trois enseignants. Les questions
posées touchaient la participation au projet, les impressions du site
(design et activités), l’impact en général sur
l’apprentissage de la résolution de problèmes et des
mathématiques. Les entretiens ont été
audio-enregistrés, transcrits et analysés par une double lecture
par les chercheurs et une discussion d’interprétation et de
validation.
Les points suivants ont été ressortis lors de discussions en
groupe-classe :
Par rapport au design global du site, les participants ont
exprimé leur satisfaction générale (nous citons ici les
paroles des élèves transcrits du verbatim des ateliers). Entre
autres, ils ont mentionné que « le site est vraiment beau et
attrayant», fait avec une technologie de pointe (Le site est
vraiment « high tech » ; c’est le meilleur site
que je n’ai jamais vu). Les personnages du site semblent plaire aux
élèves (La mascotte est « cute » ; les
images sont belles et c’est intéressant avec les animaux). Par
rapport au contenu, les élèves semblent avoir
apprécié « le fait qu’on a les sections sciences et
échec est déjà un gros plus ». Le contenu leur
semble également pertinent et complet (C’est très
bien. Vous avez tout mis).
Par rapport aux outils technologiques, les élèves ont fait
allusion au forum de discussion comme moyen de communication avec d’autres
élèves (C’est cool qu’on a un
« chat » qui nous permet d’aller consulter les
élèves d’autres écoles si on a des
problèmes), l’avantage d’avoir son propre compte pour
garder toutes les traces du travail (Le fait qu’on a notre propre
compte ; C’est excellent le fait qu’on a chacun un compte, car
comme ça, on peut revoir ce qu’on a fait et on ne perd rien,
même pas nos solutions) et finalement le plaisir d’avoir
une variété d’outils de rédaction incluant une
possibilité de faire des dessins (C’est le
« fun » avec les outils. On peut faire des dessins).
Après avoir analysé les verbatim des entrevues individuelles,
nous avons ressorti sept principaux thèmes :
Thème 1 : Le développement du sens d’autonomie et
de débrouillardise
Les problèmes posés sur le site CASMI semblent pousser les
élèves à se débrouiller davantage en trouvant des
stratégies ou des informations technologiques ou mathématiques
nécessaires pour résoudre les problèmes.
Selon les entrevues, l’accès à Internet permet aux
élèves de faire des recherches rapides pour des informations ou
des outils qu’ils ne connaissent pas, ce qui n’est pas toujours
possible à l’aide d’un manuel. En plus de pouvoir apprendre
de nouvelles fonctions technologiques, les élèves ont eu
l’accès instantané à une vaste gamme
d’informations touchant les contenus mathématiques. Un
élève a ainsi affirmé : « Je peux chercher
sur Internet pour des choses que je ne sais pas ».
Du côté des enseignants, ces mêmes observations ressortent
également. Un enseignant a remarqué, entre autres :
« Les élèves sont ingénieux. Ils se trouvent
des manières pour résoudre les problèmes. Dans un cas, ils
devaient faire un dessin, mais le site CASMI ne le permettait pas. Alors, ils se
sont débrouillés. Ils l’ont placé sur leur
cybercarnet et ont fait un lien à leur cybercarnet ».
Les élèves ont, alors, fait des liens entre différents
outils informatiques.
Un autre enseignant a partagé le cas d’un élève
qui a réussi à résoudre un problème avec la notion
du théorème de Pythagore, un concept qu’il n’avait pas
appris auparavant : « Un élève de 7e qui devait
appliquer le théorème de Pythagore pour résoudre un
problème, il ne l’avait pas appris. Il a fait une recherche dans
Internet et par la suite, il a présenté le théorème
aux autres élèves de la classe ».
Les enseignants ont aussi exprimé une grande satisfaction par rapport
à l’autonomie que les élèves avaient
développée avec le site CASMI en mentionnant que les
élèves les consultaient de moins en moins lorsqu’ils
étaient sur le CASMI vers la fin de l’année :
« Au début de l’année, j’étais
beaucoup consulté par les élèves pour les aider à
résoudre les problèmes. Mais, plus on avançait, plus ils se
débrouillaient et consultaient les autres ».
Le développement d’un sens d’autonomie ainsi
observé dans un environnement doté d’un accès
à des outils technologiques en mathématiques est un
phénomène intéressant. Sabra et Trouche (Sabra et Trouche, 2009) ont effectué des analyses de plusieurs recherches didactiques en
mathématiques et ont remarqué que :
« dès que l’apprenant dispose des outils
nécessaires à son apprentissage (des ressources
pédagogiques, des outils technologiques différents :
calculatrices, logiciels), et dans la mesure où la tâche est bien
adaptée à ses possibilités et ses besoins,
l’interaction “apprenants-ressources” manifeste cette
autonomie dans un milieu organisé dans le but d’atteindre les
objectifs didactiques de cette activité » (Sabra et Trouche, 2009),
p. 64.
Thème 2 : Motivation face aux défis
intellectuels
La communauté virtuelle CASMI semble augmenter les occasions de
résolution de problèmes à l’aide des défis
posés régulièrement tout en motivant les
élèves. Tout d’abord, les sujets mentionnent que les
problèmes posés sur la CASMI offrent de bons défis
intellectuels, ce qui amène les élèves à bien
réfléchir pour les relever. Selon les entrevues, les
élèves semblent être motivés par les défis que
les problèmes leur apportent. Ils savent que certains problèmes
sont faciles, mais d’autres sont plus difficiles à résoudre.
Effectivement, un élève a partagé :
« J’aime les problèmes, car ils te font penser. Ils sont
des défis, car ils ne sont pas tous faciles à résoudre. Un
problème c’est un problème ». Un autre
élève abonde dans le même sens : « Il faut
beaucoup penser pour résoudre les problèmes. Certains sont
faciles, mais d’autres sont très difficiles ».
De plus, malgré les défis à relever, les
élèves semblent être plus motivés à
résoudre les problèmes en ligne comparativement aux manuels de
mathématiques en format papier. Un élève
affirme : « plus on pratique, mieux on devient...
C’est plus motivant de faire un problème sur le site que dans un
livre. C’est moins intéressant de résoudre un
problème d’un livre de 1970 ». Un élève en
particulier a mentionné aussi qu’il n’utilisait pas le site
seulement à l’école. Il dit : « Je vais
résoudre des problèmes à la maison parfois ».
Les enseignants avancent, à leur tour, que le site contient une bonne
variété de problèmes complexes qui respectent les contenus
des programmes d’études et qu’ils n’ont pas besoin de
motiver les jeunes pour consulter le site. Un enseignant mentionne :
« Moi j’adore le site CASMI. Ce n’est pas monotone et les
problèmes touchent à tous les objectifs du programme
d’étude... Bonne complexité et variété dans
les problèmes... Pas besoin de motiver les jeunes pour aller sur le
site ».
Ce rapport didactique entre le défi qu’offre la
résolution de problèmes et la construction de nouvelles
connaissances mathématiques a été observé par
Poirier (Poirier, 2001),
p. 5 : « S’il n’y a pas de problème
à résoudre, de défi à relever, il n’y aura
aucune motivation à construire de nouvelles
connaissances ».
En plus de voir de nouvelles options didactiques, les enseignants rapportent
une satisfaction qu’ils observent chez leurs élèves par
rapport à leurs succès. Les enseignantes mentionnaient
également que les élèves leur montraient leurs solutions.
Un enseignant en particulier dit : « Les élèves
viennent souvent me montrer leurs solutions et leurs rétroactions.
Regarde madame, j’ai résolu le problème ». Un
enseignant nous a mentionné que certains élèves ne se
contentent pas d’avoir résolu un problème, ils commencent
à se chercher aussitôt d’autres défis :
« Cet élève en particulier qui n’en a pas assez
des maths, il avait du plaisir à essayer les problèmes experts
(les plus difficiles) et de me dire qu’il avait trouvé la bonne
réponse. C’était plaisant m’asseoir avec lui et voir
ses façons de penser ».
Cet engagement dans une activité mathématique enrichie et
authentique a été observé par d’autres chercheurs,
comme le rapporte Piggott (Piggott, 2007) :
« When engaging in enriching mathematical activities, learners
are drawn into the mathematics either because of the context or the mathematics
that emerges from the problem itself. Contexts may result in learners initially
experiencing a sense of slight unease. However, through such experiences, the
aim is for learners develop as confident and independent, critical thinkers.
Learners should be encouraged to be creative and imaginative in their
application of knowledge » (p. 38).
Les enseignants semblent être satisfaits de la qualité des
problèmes qui sont posés sur le site CASMI. Ceci facilite leur
recherche de bons problèmes. Et de plus, étant donné que ce
sont les étudiants en formation des maîtres qui font les
rétroactions, les enseignants n’ont pas besoin d’en faire la
correction. Un enseignant résume ces points en disant :
« Je n’avais pas besoin de chercher pour de bons
problèmes. Et de plus, pas besoin de faire la correction, car les
élèves recevaient une rétroaction plus
détaillée que ce que l’on donne ».
Thème 3 : Évaluation formative et nouveaux types
d’interaction
Les participants semblent apprécier les rétroactions formatives
personnalisées que les élèves reçoivent. Les examens
provinciaux en mathématiques organisés par le ministère de
l’Éducation du Nouveau-Brunswick à la fin de la
3e, de la 5e, de la 8e et de la 11e années selon le cadre d’évaluation cohérent avec les
principes didactiques mentionnés dans nos sections
précédentes mesurent, entre autres, les habiletés des
élèves à gérer et résoudre une
situation-problème, à raisonner et communiquer
mathématiquement et à faire des liens (MENB, 2008).
L’accent placé sur la résolution de problèmes dans un
environnement virtuel permet aux enseignants d’avoir une
rétroaction diagnostique utile pour améliorer l’enseignement
axé sur la compréhension plus profonde de contenus
mathématiques par les élèves, ainsi qu’une meilleure
maitrise d’habiletés et d’usage, productive de
méthodes d’apprentissage et de la pensée. Un tel outil
d’évaluation devrait non seulement mesurer les résultats
d’apprentissage, mais également le processus et les
stratégies (De Corté et Masui, 2008).
Selon les entrevues, les élèves semblent apprécier le
fait que ce sont des étudiants du niveau universitaire qui leur donnent
une rétroaction sur leurs solutions. Le travail effectué par les
étudiants en formation des maîtres semble être
valorisé par les élèves. Les élèves
mentionnent qu’ils aiment recevoir les rétroactions de leurs
solutions. De plus, ils semblent être motivés de recevoir une
rétroaction d’une autre personne que leur enseignant. Et aussi, ces
rétroactions sont faites par des personnes qui sont quand même
adultes. Un élève trouve que : « C’est
excellent qu’on a quelqu’un qui nous corrige et nous envoie des
commentaires ».
Ces rétroactions leur permettent de se corriger et
d’améliorer leurs habiletés en résolution de
problèmes. Un élève a dit : « Je trouve que
les rétroactions sont claires. Ça nous montre nos fautes, ce
qu’on fait bien et ce qu’on peut faire mieux la prochaine
fois ».
Selon les enseignants, le site leur permet de réviser des notions
mathématiques à travers la résolution de problèmes,
ce qui amène l’élève à puiser dans ses
connaissances antérieures. Un autre constat : même si ce
dernier n’enseigne plus ce module quand un problème est
posé, il peut l’utiliser comme évaluation formative afin de
voir si les élèves maîtrisent encore les concepts vus
antérieurement, ou encore, s’il fallait expliquer ou
réexpliquer certains concepts. Un enseignant résume :
« Même si je n’étais pas dans mon module de
géométrie et qu’un problème de
géométrie était affiché, les élèves
devaient aller dans leurs connaissances antérieures et trouver des
méthodes pour le résoudre. Et à certaines occasions, je
devais expliquer un petit concept ».
Les enseignants semblent aussi être satisfaits de la qualité
ainsi que de la rapidité des rétroactions qui sont données
aux élèves qui résolvent les problèmes. Un
enseignant dit : « Je sais qu’il y a d’autres sites
de ce genre sur le web. Mais j’n’en ai pas trouvé un
où l’interaction se fait aussi vite comme CASMI ». Les
enseignants semblent aussi observer la fierté que les
élèves ont du fait qu’ils reçoivent une
rétroaction d’un étudiant de l’Université de
Moncton. Un enseignant a mentionné : « Le fait que les
élèves sont au courant que quelqu’un corrige sa solution et
qu’ils reçoivent un feedback, je crois que ça fait la magie
du jeu ». Le fait de ne pas avoir un feedback immédiat va en
quelque sorte à l’encontre de la culture de jeux dans les
environnements virtuels auxquels les jeunes semblent être habitués,
selon Gadanidis (Gadanidis, 2001).
Selon l’auteur, une rétroaction asynchrone peut ajouter plus de
profondeur dans les apprentissages à long terme et de meilleure
qualité (Gadanidis, 2001).
D’autres aspects peuvent être également mis en valeur,
comme, par exemple, le sentiment de réussite. Là-dessus, les
enseignants ont mentionné que les élèves sont fiers de leur
montrer leurs rétroactions. Voici les propos d’un enseignant en
particulier : « Les élèves ont le plaisir de nous
montrer les rétroactions qu’ils reçoivent. Regarde monsieur,
je l’ai bien fait le problème ».
Thème 4 : Occasions de partage et de collaboration entre les
élèves
Le site CASMI semble stimuler des discussions, des partages et des
échanges entre les élèves en salle de classe. Selon les
entrevues, les élèves mentionnent qu’ils ont plus tendance
à collaborer avec les autres camarades de classe et discuter des
problèmes et de différentes stratégies possibles pour les
résoudre, voire même s’entraider. Un élève en
particulier a mentionné que : « Si je ne peux pas
résoudre un problème, je vais voir des amis pour
m’aider ».
Les enseignants ont fait la même remarque que les élèves.
Tous les enseignants ont mentionné que les élèves aiment
discuter des problèmes posés sur le site CASMI. Un enseignant
décrit ce climat de la façon suivante :
« C’est comme s’ils avaient gagné un
trophée ». Un autre enseignant a aussi mentionné
à nouveau le fait que les élèves avaient plus tendance
à se regrouper ensemble pour travailler un problème. Il a
mentionné : « Pour le problème des patates de tout
à l’heure, quelques élèves étaient sur la
bonne piste et se sont regroupés pour s’entraider. Copier ? NON !
Collaborer et expliquer OUI ! ... et je n’avais pas besoin
d’être la personne ressource ». Ainsi, nous pouvons
conclure que le CASMI semble apporter des occasions de collaborer et de
travailler en groupes. Ces occasions d’échanges semblent donc se
multiplier avec les technologies.
Les autres recherches semblent confirmer que les discussions émergent
plus facilement autour de problèmes riches dans une atmosphère
où chaque contribution est valorisée et les élèves
apprennent à écouter leurs pairs (The Math Forum's Bridging Research and Practice Group, 2000).
Thème 5 : Différenciation des apprentissages
Le CASMI semble respecter une pédagogie différenciée en
ce qui concerne les habilités des élèves et leur rythme de
travail en permettant de faire des choix. En lien avec la pédagogie
différenciée prônée par les programmes
d’études au Nouveau-Brunswick (MENB, 2005), le
site semble permettre d’enrichir ou de modifier les attentes à
l’intention d’un petit nombre d’élèves qui
présentent des forces ou des défis cognitifs particuliers. Dans
une entrevue, un élève mentionne : « Si je ne peux
pas résoudre le problème, j’en essaie un autre. Parfois, le
problème du niveau 3 est trop difficile pour moi, alors je vais faire un
plus bas ». Dans une seconde entrevue, un autre élève
mentionne : « Je regarde les problèmes et je fais ceux que
je suis capable de faire ». Ces deux citations semblent
démontrer que les élèves peuvent choisir de leur propre
gré les problèmes qu’ils sont plus aptes à
résoudre. Pour les élèves plus faibles en
mathématiques, ils peuvent tenter de résoudre les problèmes
les plus faciles, tandis que les élèves plus forts peuvent tenter
les plus difficiles.
Les enseignants semblent tenir les mêmes propos. Un enseignant remarque
que : « Chaque élève avance à son propre
rythme ». Un autre enseignant reconnaît la pertinence
d’avoir quatre catégories de problèmes établies selon
le niveau de difficulté. Il mentionne : « Puisqu’il
y a les niveaux, les élèves plus faibles peuvent faire les niveaux
plus bas et les plus forts les niveaux plus
élevés ».
Les propos des participants semblent refléter différentes
formes de différenciations facilitées par les TIC : par
tâche, par réponse, par support et par ressource (Kennewell, 2004).
Thème 6 : Différentes stratégies et
différentes solutions
Le site CASMI semble favoriser le développement du raisonnement et de
la communication mathématique, car il est ouvert à une
variété des approches et des outils utilisés par les
élèves. Les élèves mentionnent que le site les
pousse à développer leurs habiletés en communication
mathématique. Afin que les assistants qui rédigent des
rétroactions pour les élèves puissent mieux comprendre
leurs solutions, ils doivent ajouter plus de détails comparativement au
contexte de la salle de classe. Un élève confirme cet aspect en
soulignant : « Le site m’amène à
écrire plus de phrases et des phrases complètes ».
Les enseignants ont aussi remarqué les possibilités que le site
CASMI ouvrait à la communication mathématique. Ils jugent que
cette habileté n’est pas très développée dans
la salle de classe. Ils trouvent donc le site CASMI très
bénéfique pour aider au développement de cette
habileté. Une enseignante en a discuté longuement en mentionnant
que : « La communication mathématique est un gros
problème dans les écoles de la région. Mais il y a eu une
progression. Les élèves sont plus capables de s’exprimer, de
donner leur propre version du problème, leur stratégie, pas juste
la réponse. ... Les élèves doivent s’exprimer
à quelqu’un qui n’est pas présent dans la classe. ...
Le langage mathématique améliore aussi ».
Les échanges et les discussions en classe, ainsi que le partage de
solutions exemplaires dans l’espace virtuel commun du site semblent
favoriser la communication tout en permettant aux élèves
d’apprendre sur les stratégies des autres. Un élève
le mentionne : « Pas tout le monde résout le
problème de la même manière. C’est intéressant
de voir ce que les autres font ».
Des propos similaires proviennent des enseignants. Citons les trois
commentaires suivants : « Les solutions exemplaires et le reste
sont bien structurés. On peut voir les différentes façons
que les élèves s’y prennent pour résoudre le
problème » ; « Tout raisonnement permet de
développer la logique et même la pensée
critique »; et : « J’étais surpris de voir
des élèves trouver des raisonnements différents que les
miens. Souvent, je n’y pensais même pas à cette
façon ». Ces commentaires semblent confirmer que, non seulement
les problèmes posés sur le site CASMI offrent une ouverture aux
différentes stratégies et aux différents raisonnements
mathématiques, ils ouvrent aussi la voie au développement
d’autres habiletés telles que la pensée critique et
même créative, une qualité dont les bénéfices
sont bien documentés dans les travaux de Leikin par exemple (Leikin et al., 2006).
Cette ouverture peut contribuer, selon les chercheurs, à un climat de
confiance propice aux apprentissages réussis tout en sollicitant les
perspectives et les approches multiples en résolution de problèmes (Zodik et Zaslavsky, 2004).
Thème 7 : Satisfaction personnelle et confiance par rapport
à la résolution des problèmes mathématiques
La pratique sur le site CASMI semble augmenter la confiance chez les
élèves et ces derniers voient les mathématiques plus
positivement.
Parmi d’autres commentaires, les élèves ont
mentionné que résoudre les problèmes sur le site leur
apporte une plus grande confiance quant à leurs habiletés à
résoudre des problèmes mathématiques. De plus, le site
CASMI semble permettre aux élèves de ressentir une satisfaction
personnelle quant à leur performance en résolution de
problèmes. Un élève en particulier parlait de son
expérience d’avoir travaillé fort pour résoudre un
problème en particulier, et, après quelques jours, l’a
réussi. Il était aussi fier de voir son nom parmi la liste de ceux
et celles qui avaient réussi à résoudre ce problème.
Il rapporte : « J’étais le seul de la classe
à résoudre le problème des personnes et les animaux. Mais
ça m’a pris 4 à 5 jours... C’est le fun de voir notre
nom sur le site qu’on a eu la bonne réponse ».
Les élèves ont également témoigné de leurs
progrès d’une semaine à l’autre dans leurs
apprentissages en mathématiques ainsi qu’en leurs habiletés
en résolution de problèmes. Certains ont même
développé une meilleure attitude à l’égard des
mathématiques et sont maintenant plus confiants. Quelques commentaires
émis par les élèves pour appuyer ces points sont les
suivants : « Je suis plus confiante en math maintenant, car je
pratique plus » ; et « Avant, moi, les maths, ça
n’allait pas. Mais maintenant, ça va beaucoup mieux avec le
CASMI ». Aussi, les élèves ont souligné
qu’avec la pratique sur le site, ils sont devenus plus confiants à
résoudre des problèmes et ils le font avec moins d’aide de
la part de leurs enseignants. Un élève a mentionné :
« Si je ne pouvais pas résoudre le problème, je
demandais de l’aide à mes amis ou je cherchais dans
Internet ».
Les enseignants ont aussi observé une amélioration au niveau
des apprentissages en mathématiques chez leurs élèves,
grâce à la pratique sur le site CASMI. Un enseignant a conclu
que : « Ce qui était difficile pour un élève
au début de l’année ne l’est plus à la
fin ».
Ces observations semblent s’aligner avec les travaux des chercheurs qui
démontrent le rôle prédominant des enseignants dans le
développement des attitudes positives chez les élèves face
aux mathématiques : « Teachers should encourage
students to realize self-efficacy, self-esteem and self-respect because these
factors help students gain higher achievement motive and if the students have
high achievement motive, they will have good attitude toward learning, then they
will concentrate on learning and they will be efficiently successful in studying
as they expect» (Pimta et al., 2009),
p. 384.
5. Communication de la démarche de résolution de
problèmes dans un environnement virtuel : parler mathématique
à l’aide des TIC
Dans l’espace virtuel, les
élèves se trouvent aux prises avec des problèmes
mathématiques, l’activité dans laquelle la validation et la
communication de la démarche deviennent donc des éléments
importants de la résolution de problème (Poirier, 2001).
Bien qu’il existe différentes options de formats de
présentation de problèmes dans l’interface utilisateur du
site (texte ou lien vers un fichier audio ou vidéo), la grande
majorité de nos énoncés sont présentés sous
forme textuelle accompagnée d’une illustration qui est liée
au contenu du problème. Cet énoncé s’ouvre dans une
fenêtre de travail de résolution du problème suivi
d’un formulaire électronique vierge qui contient des outils
standards de traitement de texte (polices, couleurs, taille, insertion des liens
et d’images, puces, tableaux et autres). Le choix de moyens de
représentation appartient donc à l’élève et
nous pouvons nous attendre à une grande variété de formats.
Cette variété de moyens « virtuels » est
jumelée avec une variété de représentations
proprement mathématiques, ce qui crée un environnement
technopédagogique différent de celui en format papier et
crayon. Ce nouveau type d’environnement numérique mérite
d’être examiné avec plus de profondeur. À titre
d’exemple, nous avons choisi le problème suivant :
L’énoncé a été accompagné
d’une photo de l’horloge (voir le lien pour
l’énoncé.
http://www2.umoncton.ca/cfdocs/cami/cami/cami.cfm?action=
PreviewPbArchive&IDS=135&V_Categ=MT&IMG=TEC&IDPROB=1057).
Selon les critères de richesse définis par Manuel (Manuel, 2010) -
problème ouvert, contextualisé – ce problème a
été classé comme moyennement riche. Il fait appel à
des concepts et à des structures mathématiques déjà
connus par l’élève (comme, par exemple, la notion de
l’angle et de sa mesure) et d’autres qui peuvent être
mobilisés par l’élève (exemple, un raisonnement
proportionnel) en lui permettant d’élaborer différentes
stratégies menant à une variété de réponses.
Bien qu’il existe une formule directe permettant de calculer la mesure de
l’angle en degrés (exemple, http://en.wikipedia.org/wiki/Clock_angle_problem),
nous nous attendions à ce que l’élève connaisse la
formule et donc qu’il s’engage dans son propre processus de
construction de la démarche de résolution. Dépendamment de
son interprétation de l’énoncé,
l’élève pouvait ainsi définir sa tâche comme
celle de trouver le type de l’angle (obtus ou aigu) ou comme celle de
calculer (estimer) la mesure de l’angle entre les aiguilles. Ainsi, les
élèves pouvaient répondre que c’est un angle obtus
(si l’on regarde l’angle dans le sens de l’aiguille) ou un
angle rentrant (si l’on considère l’angle dans le sens
antihoraire). D’autres élèves pouvaient aussi entreprendre
une démarche plus rigoureuse (et pédagogiquement plus souhaitable)
en calculant la mesure de l’angle en degrés, à partir
de relations entre les données (exemple, entre l’unité de
temps et l’angle). Pour des élèves du secondaire, la mesure
de l’angle pouvait être exprimée en radians.
Au niveau des représentations, l’élève pouvait
utiliser l’horloge comme matériel de manipulation et utiliser un
rapporteur pour mesurer l’angle. L’élève pouvait aussi
faire un dessin d’une horloge (image) et par la suite, estimer
l’angle (voir la Figure 2. Notez que nous conservons dans les
citations d’exemples et dans les figures suivantes le texte tel
qu’écrit par l’élève, tout en conservant son
langage authentique), mesurer l’angle à l’aide du rapporteur
ou le déterminer à l’aide de calculs.
Figure 2 • Dessin et estimation
En analysant l’espace virtuel collectif de solutions, terme introduit
par (Manuel, 2010) de
ce problème comportant 73 solutions, nous avons pu faire quelques
observations par rapport à la communication mathématique
(variété des expressions décrivant les relations
mathématiques et des raisonnements sous-jacents). Nous avons
également observé des expressions faisant ressortir des
émotions ou des relations sociales exprimées sous forme de texte,
d’image ou d’émoticône.
a) Explications détaillées de la solution.
Parmi 73 solutions, 31 (42,5 %) ne contenaient que la réponse, 17
(23,3 %) contenaient la réponse accompagnée d’une
brève explication, souvent sous forme d’une courte phrase comme,
par exemple « L’angle est obtus, car c’est un angle dont
la mesure se situe entre 90 et 180 degrés ». Il n’y avait
toutefois pas de détails quant à la façon dont la
réponse a été obtenue. Citons également un autre
élève qui a fait référence à son travail fait
en papier - crayon : « l'angle que l'horloge d'écris est
obtue je ne peu pas le d'écrire plus je lais faite sur un papier
brouillon». Notons également que dans près d’un tiers
(29,4 %) de solutions courtes, la réponse était
accompagnée d’un dessin. Finalement, les 25 (34,3 %)
d’autres solutions étaient plus élaborées.
En effet, cette disparité dans l’élaboration de la
réponse illustre bien le caractère complexe de la tâche qui
demande une mobilisation de plusieurs compétences d’ordre
méthodologique, soit essayer, organiser sa démarche, mettre en
œuvre une solution originale, en mesurer l'efficacité, argumenter
à propos de sa solution ou de celle d'un autre, bref, les
compétences peu travaillées par ailleurs, selon Charnay (Charnay, 1992).
On peut également se rappeler de la recherche de Focant (Focant, 2003) qui a mis en évidence l’importance de favoriser les
stratégies d’intervention garantissant une démarche de
sélection et d’adaptation des procédures adéquates en
fonction d’un répertoire de procédures interne à
l’individu (autorégulation cognitive) jumelées avec le
travail sur sa motivation, les facteurs indispensables pour que
l’élève s’engage dans une résolution de
problèmes mathématiques. Ces observations doivent cependant
être cautionnées compte tenu la nature du contexte virtuel
(à distance) ne nous permettant pas de rencontrer
l’élève et lui poser des questions sur sa démarche.
Le fait de ne pas présenter sa démarche complète ou le
faire de façon partielle peut être dû au manque de temps,
à l’accès au site limité.
b) Utilisation des outils de dessin
Les outils de dessin ont été utilisés par plusieurs
élèves pour personnaliser leurs solutions.
L’élève a soit utilisé l’image d’une
horloge ou encore a fait son propre dessin de l’horloge. Il a ensuite
indiqué les aiguilles et a déterminé la mesure de
l’angle. Dans une solution, l’élève a indiqué
qu’il s’est basé sur le dessin, mais au lieu de mettre le
dessin, il a choisi d’expliquer ses étapes à l’aide de
longues phrases textuelles : « Mon calcul est un peu dur à
expliquer en mots, car mon travail est à base de dessins, mais je vais
essayer quand même ». Du côté technologique,
l’élève semble avoir utilisé un logiciel permettant
de faire des dessins (MS Paint, par exemple) pour dessiner l’horloge et
les aiguilles. Une fois enregistré sur le disque dur, le dessin pouvait
être importé dans l’interface du site et ainsi
inséré dans la solution (Figure 3). Finalement,
l’élève pouvait juste mettre le lien vers
l’emplacement de l’image. N’ayant pu capter le processus de
rédaction, nous nous retrouvons ainsi devant un produit final, ce qui
rend impossible à préciser la procédure choisie par
l’élève, c’est-à-dire qu’il est
impossible d’avoir plus de détail sur la rédaction de
solutions. Nous pouvons quand même constater une grande
variété de moyens de représentation comme
démonstration d’une certaine créativité grâce
aux options que l’environnement virtuel leur fournissait pour communiquer
leurs démarches.
Figure 3 • Dessin inséré dans
la solution
L’élève qui s’est servi du dessin comme
représentation schématique des relations spatiales (5 lignes entre
les deux chiffres) pour les associer aux relations entre les nombres et ainsi
avancer dans son processus de résolution de problèmes
contrairement à un autre élève qui s’est
contenté de l’observation directe de ce qu’il voyait
directement sur le dessin de l’horloge (Figure 2) pour produire
immédiatement une réponse, sans passer par la formation de
relations logico-mathématiques. Cette différence notée
également par van Garderen et Montague (van Garderen et Montagne, 2003) distingue souvent un élève qui résout les problèmes
avec succès comparé à l’autre qui peut
présenter des difficultés d’apprentissage et
nécessite donc un effort d’encadrement plus soutenu de la part de
l’enseignant. L’analyse de deux cas fait ressortir le besoin
d’un regard plus nuancé sur le rôle de représentations
visuelles comme support à la résolution de problèmes avec
plus de succès documenté, entre autres, par Güler et
Çiltaş (Güler et Çiltaş, 2011).
c) Utilisation de formules et de symboles
La plupart des élèves semblent se contenter d’un
raisonnement qualitatif exprimé à l’aide des phrases en
langage de tous les jours sans recours au langage symbolique mathématique
(formules, symboles d’opérations, etc.). Par contre, dans les
20 % des solutions où le calcul était présent, nous
avons pu observer des raisonnements plus quantitatifs, voire algébriques.
Dans une solution, l’élève a remarqué que
l’angle était presque plat (estimation). Pour préciser sa
mesure, il a donc effectué une soustraction en déterminant le
nombre de degrés qui manquaient afin d’obtenir un angle plat et a
soustrait son résultat de 180 degrés (calcul exact). Dans une
autre solution, l’élève s’est servi de l’angle
plein (360 degrés) et a déterminé la relation entre le
nombre de traits sur la surface de l’horloge et l’angle plein. Par
la suite, il a déterminé le nombre de lignes entre les deux
aiguilles, ce qui lui a permis d’avoir une mesure plus précise de
174 degrés (raisonnement proportionnel, Figure 4). Dans les autres
solutions, les élèves se sont basés sur le nombre
d’heures et de minutes calculées à partir des positions des
aiguilles formant l’angle, en se servant, au besoin, des rapports.
Figure 4 • Exemple du raisonnement
proportionnel et du calcul
Comme le démontrent nos analyses, le recours à ce type de
raisonnement plus abstrait est rare. Déjà, comme le relatent Neria
et Amit (Neria et Amit, 2004),
très peu d’élèves, qui sont souvent de bons
élèves (‘high achievers’) choisissent de communiquer
leurs solutions aux problèmes à l’aide des
représentations algébriques, même après des
années d’étude extensive d’algèbre, comme
c’est le cas dans leur étude. Les auteurs expliquent le
phénomène comme étant lié aux difficultés des
élèves avec le caractère abstrait de
l’algèbre, ainsi que la façon d’enseigner
l’algèbre à l’école – un enjeu qui
mérite d’être examiné par des personnes responsables
des curricula, ainsi que par les enseignants (Neria et Amit, 2004).
d) Étapes de la résolution et réflexion sur sa
démarche
Nous avons remarqué que 40 % des solutions
détaillées étaient bien structurées,
c’est-à-dire que les élèves prenaient le temps de
bien identifier chacune des étapes de la solution : données,
travail, réponse, question, etc. Ces élèves semblent ainsi
avoir reproduit le modèle « uniforme » souvent
enseigné dans les salles de classe. Un nombre assez important de
solutions moins bien structurées rendant difficile
l’évaluation de la qualité du raisonnement amène une
problématique déjà bien documentée en recherche. Par
exemple, Cai et al. (Cai et al., 1996) ont noté le besoin de bien articuler la démarche de
résolution de problèmes pour qu’elle soit comprise par une
autre personne. Cette observation est particulièrement pertinente dans le
cas de la communication dans un espace virtuel car le retour (évaluation
formative de la solution) est plutôt difficile lorsque le travail de
l’élève est incomplet (Cai et al., 1996).
Il serait ainsi important que les concepteurs du site trouvent des approches
innovantes pour guider l’élève dans sa démarche de
façon plus soutenue.
Très peu d’élèves communiquaient leurs
réflexions de la démarche. Dans une solution,
l’élève a indiqué qu’il a dû aller
consulter son « journal de mathématiques afin de
récupérer les informations nécessaires pour résoudre
le problème ». Dans une solution, l’élève
se faisait des rappels pour se guider dans son processus. Il a indiqué
qu’il y avait « un angle de 6 degrés entre 2 lignes sur
l’horloge ». De plus, il a indiqué qu’on
« ne doit pas oublier que les aiguilles continuent toujours à
avancer ». Nos observations mettent en évidence encore une fois
le rôle de la métacognition pour soutenir l’apprentissage de
mathématiques, une habileté qui mérite d’être
explicitement enseignée au profit des élèves dites
‘réguliers’, ainsi que de leurs pairs dont les
résultats sont inférieurs, comme le soulignent Schneider et Artelt (Schneider et Artelt, 2011).
On se demande si le contexte de résolutions de problèmes dans un
espace virtuel, tel que le site CASMI, ne pourrait fournir plus de support aux
enseignants et aux élèves dans le développement de ces
habiletés.
6. Conclusion
Afin de comprendre la valeur ajoutée de
l’usage éducatif du site Internet CAMI (CASMI, selon les
étapes de développement) dans les cours de mathématiques,
nous avons examiné les données d’entrevues
semi-dirigées avec les élèves francophones du
Nouveau-Brunswick (Canada) et leurs enseignants. Les sept thèmes
ressortis indiquent un niveau assez élevé
d’appréciation de cette ressource virtuelle. En effet, le site
semble être motivant pour les élèves et sert d’une
bonne ressource éducative pour les enseignants. De plus, les
élèves ainsi que les enseignants semblent apprécier les
défis qui sont posés de façon hebdomadaire sur le site. Les
élèves peuvent donc s’engager dans un processus de
résolution de problèmes, en élaborant leurs propres
démarches, et en les partageant avec les enseignants et leurs pairs.
Selon les perceptions des élèves et de leurs enseignants, en plus
d’augmenter leur confiance à l’égard des
mathématiques, le site leur a permis d’améliorer leurs
apprentissages en mathématiques tout en suivant leur style et leur rythme
d’apprentissage, donc favorise une approche différenciée.
Les élèves ont aussi mentionné qu’ils
appréciaient les rétroactions qu’ils recevaient par rapport
aux problèmes qu’ils résolvaient en les trouvant claires et
expliquant bien leurs erreurs.
Cependant, l’impact réel de ces rétroactions est encore
à vérifier d’autant plus que très peu
d’élèves les consultent, selon nos statistiques (Freiman et Lirette-Pitre, 2009b).
Nous pouvons même nous questionner sur une possibilité de faire un
retour sur les productions des élèves à l’aide des
outils d’interaction virtuelle existants tels que le forum de discussion
ou d’autres pouvant favoriser un échange entre les
élèves et les étudiants mentors de
l’Université. Malgré la structure dynamique de la base de
données CASMI, les activités pédagogiques sur le site
semblent demeurer plutôt statiques, limitant les pratiques de
résolution de problèmes à la production et le
dépôt de solutions. Autre que les échanges en classe
mentionnés par les enseignants, il ne semble pas y avoir beaucoup
d’interactions entre les membres.
Pour ce qui est de la communication mathématique des solutions dans la
communauté virtuelle CASMI, nous avons pu observer une grande
variété de stratégies et de moyens de représentation
dans les productions des élèves. Les élèves semblent
vouloir personnaliser davantage leurs solutions en utilisant différentes
polices, tailles de caractère, formats et couleurs en exprimant aussi des
émotions en utilisant des émoticônes, ce que nous ne
retrouvons pas généralement dans les solutions en format papier et
crayon. Même si nous voyons ces aspects positifs dans les solutions, nous
pouvons repérer plusieurs défis limitant l’impact du site
sur les apprentissages des élèves.
Tout d’abord, nous avons remarqué que certains
élèves sembleraient éprouver des difficultés au
niveau du dessin étant donné qu’il n’y a pas
d’outils spécifiques pour faire des dessins. Un dessin peut
seulement être affiché comme une image. De plus, dans plusieurs
solutions soumises à l’aide d’un formulaire
électronique, nous voyons peu de traces de démarches
mathématiques détaillées, car la plupart des
élèves se limitent à des explications courtes, ou encore,
mettent seulement des réponses finales. Il serait donc intéressant
de rendre les options de création de fichiers audio et vidéo plus
visibles et mieux accessibles dans la barre d’outils. La seule
façon dont ceci peut être fait dans la version actuelle c’est
en utilisant le lien hypertexte qui va diriger les élèves vers le
contenu d’un fichier.
Par exemple, il serait intéressant que les élèves
puissent cliquer sur un bouton et qu’une vidéo de la capture de son
écran soit créée. De cette façon, il serait possible
de pouvoir observer toutes les traces du travail de l’élève,
ce qui pourrait aussi enrichir davantage les possibilités de
réaliser des recherches plus poussées sur la nature des
raisonnements des élèves engagés dans un processus de
résolution de problèmes. Des outils mathématiques
pourraient être implantés dans le formulaire de réponse, par
exemple, une règle, un rapporteur d’angles, un compas, une fonction
pour insérer des équations, etc. Ceci pourrait possiblement
augmenter le niveau d’interactivité dans la manipulation des outils
dans un environnement virtuel. De plus, peut-être qu’en ayant un
formulaire permettant d’écrire des équations
mathématiques de façon plus conviviale, les élèves
auraient plus tendance à démontrer leurs calculs. Ces types de
changements pourraient aider à mieux adapter le site aux besoins
d’un plus grand nombre d’élèves incluant ceux ayant
des difficultés en lecture et en écriture.
En reconnaissant une évolution constante des outils informatiques,
dans une perspective de réseautage social web 2.0, dans nos
réflexions sur l’avancement du projet, nous nous
référons au concept de la Génération Net introduit
dans les travaux de Prensky (Prensky, 2001) et Tapscott (Tapscott, 2009).
À la lumière des résultats de nos analyses, nous nous
interrogeons également sur d’autres approches, plus innovatrices,
exploitant les nouvelles façons d’apprendre chez les jeunes. En
naviguant librement dans les réseaux sociaux sur l’Internet,
grâce à l’évolution rapide des ressources
numériques disponibles, les apprenants de la Génération Net
sont plutôt caractérisés comme étant autodidactes. En
effet, ils n’ont pas besoin de manuels qui décrivent étape
par étape comment exécuter une telle tâche, mais font
plutôt référence à quelques brèves
explications visuelles. Ces gens veulent les informations rapidement, sont
capables de faire plusieurs tâches en même temps (multitasking). De
plus, ces « net genners » ne tolèrent pas les longs
discours et préfèrent consulter les informations en ligne à
l’aide d’interactions sociales avec des gens de leur milieu ou
encore avec des professionnels (Veen et Vrakking, 2006),
ce qui ne semble pas être le cas dans la communauté CASMI.
Parmi les caractéristiques de la Génération Net
mentionnées, entre autres, par Veen et Vrakking (Veen et Vrakking, 2006) et Gokhale, (Gokhale, 2007),
on note l’intérêt des jeunes aux apprentissages plus actifs
ainsi qu’aux activités de collaboration et de travail en groupe,
peu exploité dans notre projet. Pour le moment, il existe très peu
d’options de partages de solutions dans la communauté CASMI. Les
élèves résolvent les problèmes et apportent leurs
idées ingénieuses reflétant leurs conceptions
mathématiques qui peuvent être alternatives ou même
erronées, mais potentiellement riches en débats et en discussions.
Par contre, ces solutions ne sont visibles qu’aux mentors qui les
corrigent. Pourtant, le site offre une possibilité de création de
micro-communauté donnant l’accès aux portfolios à
d’autres membres. Pourquoi cette option est-elle
sous-utilisée ? Nous jugeons ainsi qu’il devrait y avoir plus
d’occasions de partage à l’intérieur du site.
Le forum de discussion serait une option possible. Par contre, peu de
messages dans le forum démontrent que les élèves
préfèrent mieux utiliser cet outil comme moyen de socialisation au
lieu de moyen de discussions et de partages (Freiman et Lirette-Pitre, 2009b).
Une étude doctorale portant sur le raisonnement algébrique chez
les élèves du primaire dans un contexte d’utilisation
d’un forum de discussion, réalisée par LeBlanc (Leblanc, 2011),
semble encourager le passage des preuves pragmatiques aux preuves
intellectuelles, en plus de favoriser une utilisation adéquate des
règles du débat mathématique. Ainsi, un travail plus
collaboratif en résolution de problèmes mathématiques avec
les échanges en direct ou via les forums de discussion qui semble
être prometteur (Stahl, 2006) ; (Freiman, 2009) peut-il transformer le site CASMI en véritable communauté de
création et des échanges en temps
« réel » ?
Pour conclure, nous voyons en la communauté virtuelle CASMI une
ressource éducative émergente potentiellement riche pour favoriser
les apprentissages des élèves en résolution de
problèmes mathématiques. Mais, pour mieux explorer ce potentiel,
il faudra effectuer des analyses plus poussées et diversifiées des
relations complexes entourant l’usage didactique des technologies pour
soutenir l’apprentissage de mathématiques. En revenant sur notre
questionnement de départ sur les pratiques d’enseignement, nous
partageons les réflexions d’Artigue (Artigue, 2011) sur les changements de paradigmes liés à l’utilisation
des outils informatiques qui devraient s’appuyer sur une
variété de théories pouvant éclairer la
complexité de pratiques actuelles, la dynamique de leurs
évolutions en les mettant en perspective de formation didactique initiale
et continue des enseignants axée sur une meilleure réponse
à leurs besoins et ceux de leurs élèves. Cette piste de
recherche reste encore ouverte.
1 Dans cet article, nous recourrons à la forme
éponyme lorsqu’il est fait mention des genres, cela sans
préjudice au genre réel des individus dont il sera fait
état et simplement par souci d’économie stylistique ou
éditoriale
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A
propos des auteurs
Viktor FREIMAN est professeur titulaire à la
Faculté des sciences de l’éducation de
l’Université de Moncton depuis 2003. Ses recherches portent sur la
didactique des mathématiques, l’intégration des TIC et la
douance mathématiques. Il codirige une série des livres chez
Springer Mathematics Education in the Digital Era (depuis 2011). Il était
coresponsable du Forum canadien sur l’enseignement de mathématiques
en 2009. Il a développé le Marathon virtuel des
mathématiques (2010-2012). Il est président de l’Association
APTICA (Avancement pédagogique des TIC en Atlantique.
Adresse : Faculté des sciences de
l’éducation, Université de Moncton, Campus Moncton, Moncton,
N.-B., Canada , E1A 3E9
Courriel : viktor.freiman@umoncton.ca
Dominic Manuel est présentement doctorant en
éducation à l’Université McGill. Il
s’intéresse particulièrement au développement du
talent et de la créativité chez les élèves par
l’entremise de tâches riches en mathématiques. Il est aussi
chargé de cours en didactique des mathématiques au primaire et au
secondaire. Il a enseigné à l’Université de Moncton
de 2006 à 2012 et à l’Université McGill depuis 2012.
Adresse : Département
d’études intégrées en éducation,
Faculté d’éducation, Université McGill, 3700, rue
McTavish, local 244, Montréal, QC, Canada, H3A 1Y2
Courriel : Dominic.manuel@mcgill.ca
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